/ / דרכים שונות של הוכחת משפט פיתגורס: דוגמאות, תיאור וביקורות

דרכים שונות להוכיח את משפט פיתגורס: דוגמאות, תיאור וביקורות

באחד אתה יכול להיות בטוח בכל דבראחוז, המהווה את השאלה, מהו לריבוע של היתר, כל מבוגר באומץ לענות: "את סכום הריבועים של הרגליים." משפט זה יש התיישבו היטב במוחם של כל אדם משכיל, אבל זה מספיק רק כדי לבקש ממישהו להוכיח את זה, ויכולים להיות קשיים. לכן, הבה נזכור ונשקול דרכים שונות להוכיח את משפט פיתגורס.

סקירה קצרה של ביוגרפיה

משפט פיתגורס מוכר כמעט לכולם, אבלמשום מה הביוגרפיה של האדם שהפיק אותה אינה כה פופולרית. זה תיקון. לכן, לפני לימוד דרכים שונות של הוכחת משפט Pythagoras, אחד חייב בקצרה להכיר את האישיות שלו.

משפט פיתגורס ושיטות שונות

פיתגורס - פילוסוף, מתמטיקאי, הוגה דעות במקוריוון העתיקה. היום קשה מאוד להבדיל בין הביוגרפיה שלו לבין האגדות שנוצרו בזכרונו של האיש הגדול הזה. אבל כדלקמן מן הכתבים של חסידיו, פיתגורס של סאמוס נולד על האי סאמוס. אביו היה חותך אבן, אבל אמו באה ממשפחה אצילה.

אם לשפוט לפי האגדה, את המראה של פיתגורסניבא אישה בשם פייתיה, שבכבודם קראו לילד. על פי התחזית שלה, ילד שנולד חייב להביא תועלת רבה וטוב לאנושות. מה שבאמת עשה.

הלידה של המשפט

בצעירותו עבר פיתגורס מהאי סאמוסמצרים, להיפגש שם עם חכמי מצרים המצריים. לאחר פגישה איתם, הוא התקבל ללימודים, שם למד את כל ההישגים הגדולים של הפילוסופיה המצרית, המתמטיקה והרפואה.

ככל הנראה, זה היה במצרים כי פיתגורס היה בהשראתהוד מלכותו ויופיו של הפירמידות ויצרו את התיאוריה הגדולה שלו. זה עלול לזעזע את הקוראים, אבל היסטוריונים מודרניים מאמינים כי פיתגורס לא הוכיח את התיאוריה שלו. הוא רק העביר את הידע שלו לעוקבים, אשר מאוחר יותר השלים את כל החישובים המתמטיים הדרושים.

מה שזה לא יהיה, היום ידוע לא רקהטכניקה של ההוכחה של משפט זה, אבל כמה. היום אנחנו יכולים רק לנחש איך בדיוק היוונים הקדמונים עשו את החישובים שלהם, אז הנה אנחנו רואים דרכים שונות להוכיח את משפט פיתגורס.

משפט פיתגורס

לפני תחילת כל חישובים, אתה צריך לגלות איזו תיאוריה להוכיח. משפט פיתגורס נשמע כך: "במשולש עם אחת הזוויות שווה ל -90o, סכום הריבועים של הרגליים שווה לכיכר ההיפוטנוס. "

בסך הכל יש 15 דרכים שונות להוכיח את משפט פיתגורס. זוהי דמות גדולה למדי, אז בואו לשים לב הפופולרי ביותר מהם.

שיטה אחת

ראשית, בואו נציין את מה שניתן לנו. נתונים אלה יוארכו לשיטות אחרות של הוכחה של משפט פיתגורס, ולכן כדאי לזכור את כל הסימונים הזמינים.

נניח, בהתחשב משולש מלבני, עם הרגליים a, b ו hypotenuse, שווה c. הדרך הראשונה של הוכחה מבוססת על העובדה מלבן צריך לצייר ריבוע.

כדי לעשות זאת, אתה צריך רגל של אורך aלצייר מקטע שווה את הקטטה ב, ולהיפך. זה אמור לגרום לשני צדדים שווים של הריבוע. נותר רק לצייר שני קווים ישרים מקבילים, והכיכר מוכנה.

משפט Pythagorean הוכחות של משפט ודוגמאות

בתוך דמות שהתקבלה אתה צריך לצייר יותרריבוע אחד עם צד שווה hypotenuse של המשולש המקורי. כדי לעשות זאת, מתוך קודקודים של AC ו- SV אתה צריך לצייר שני מקבילים מקביל שווה c. לפיכך, ישנם שלושה צדדים של הריבוע, אחד מהם הוא hypotenuse של משולשים מלבניים המקורי. נותר רק לצייר את הקטע הרביעי.

בהתבסס על דפוס וכתוצאה מכך, ניתן להסיק כי שטח הריבוע החיצוני הוא (a + b)2. אם אתה מסתכל לתוך הדמות, אתה יכול לראות כי בנוסף הריבוע הפנימי יש ארבעה משולשים זווית ישרה. השטח של כל אחד הוא 0.5.

לכן, השטח הוא: 4 * 0.5av + s2= 2AV + s2

מכאן (+ c)2= 2AV + s2

ולכן עם2= a2+ ב2

המשפט מוכיח.

שיטה 2: משולשים דומים

נוסחה זו היא הוכחה של משפט פיתגורסנגזר על בסיס הצהרה של קטע של גיאומטריה על משולשים דומים. זה אומר כי הרגל של המשולש הנכון הוא פרופורציונלי הממוצע hypotenuse שלה ואת קטע של hypotenuse הנובע מ 90 העליוןo.

הנתונים המקוריים נשארים זהים, אז אנחנו מתחילים מיד עם ההוכחה. בצע בניצב בצד AB קטע SD. בהתבסס על ההצהרה לעיל, הרגליים של המשולשים שוות:

AC = √AB * AD, CB = √ AB * DV.

כדי לענות על השאלה כיצד להוכיח את משפט פיתגורס, ההוכחה חייבת להיות מונח על ידי מתיחה הן אי שוויון.

AC249 AB * HELL SV2= AB * DV

עכשיו אנחנו צריכים להוסיף את אי השוויון שנוצר.

AC2+ SV2= AB * (HELL * LW), שם HELL + LW = AV

מתברר כי:

AC2+ SV2= AB * AB

ולכן:

AC2+ SV2AB 492

דרכים שונות להוכיח את משפט פיתגורס

ההוכחה של משפט פיתגורס ואת הדרכים השונות כדי לפתור את זה צריך גישה רבגוניים לבעיה זו. עם זאת, אפשרות זו היא אחת הפשוטה ביותר.

שיטה נוספת לחישוב

תיאור של דרכים שונות להוכיח את המשפטפיתגורס לא יכול לומר דבר על שום דבר, עד שאתה עצמך מתחיל לתרגל את עצמך. מתודולוגיות רבות כרוכות לא רק בחישובים מתמטיים, אלא גם בבניית דמויות חדשות מהמשולש המקורי.

במקרה זה, יש צורך להשלים עוד אחד זווית משולש זווית של AF. לכן, עכשיו יש שני משולשים עם BC משותף.

בידיעה כי תחומים של דמויות כאלה יש יחס כמו ריבועים של ממדים ליניאריים דומים שלהם, אז:

Savs * עם2- Savd* ב2 = Savd* א2- Sבכל מקום* א2

Savs* (עם2-2) = א2* (Savd-Sבכל מקום)

עם2-2= a2

עם2= a2+ ב2

מאז שיטות שונות של הוכחת משפט Pythagorean עבור כיתה 8 אפשרות זו היא בקושי מתאים, אתה יכול להשתמש בשיטה הבאה.

הדרך הקלה ביותר להוכיח את משפט פיתגורס. ביקורות

היסטוריונים מאמינים שזו היתה הפעם הראשונהנהג להוכיח את המשפט ביוון העתיקה. זה הפשוט ביותר, שכן הוא דורש שום חישובים. אם אתה מצייר את התמונה בצורה נכונה, אז ההוכחה של ההצהרה כי2+ ב2492 יהיה גלוי לעין.

התנאים לשיטה זו יהיו שונים במקצת מהקודמים. כדי להוכיח את המשפט, נניח כי המשולש הנכון ABC הוא שוהים.

אנחנו לוקחים את hypotenusu AS בצד של הכיכר ואנחנו שלושה מפלגותיה. בנוסף, יש צורך לצייר שני קווים אלכסוניים בכיכר שהתקבל. כך שבתוכו יש ארבעה משולשים.

לקטעי AV ו- SV, צריך גם לצייר ריבוע ולשרטט קו ישר אלכסוני אחד בכל אחד מהם. הקו הישר הראשון שאנו מציירים מלמעלה של A, השני - מ C.

דרכים שונות להוכיח את תיאור משפט פיתגורס

עכשיו אתה צריך להסתכל בעיון על התמונה שהתקבלה. מאחר שישנם ארבעה משולשים על היפוטנוז AC, שווה למקור, ושניים על הרגליים, זה מציין את האמת של משפט זה.

אגב, הודות לשיטה זו של הוכחת משפט פיתגורס, הביטוי המפורסם נולד: "מכנסיים פיתגוראים שווים לכל הכיוונים".

הוכחה של ג 'רפילד

ג 'יימס גרפילד הוא הנשיא העשרים של ארצות הברית של אמריקה. מלבד העובדה שהוא השאיר את חותמו בהיסטוריה כשליט של ארצות הברית, הוא היה גם מוכשר עם עצמי לימד.

בתחילת הקריירה שלו הוא היה רגילמורה בבית ספר עממי, אך עד מהרה הפך למנהל של אחד המוסדות החינוכיים הגבוהים. חתירה לפיתוח עצמי ואיפשר לו להציע תיאוריה חדשה של הוכחה של משפט פיתגורס. משפט דוגמה של הפתרון שלה הוא כדלקמן.

ראשית עליך לצייר על פיסת נייר שתייםמשולשים זווית ישרה, כך שרגלו של אחד מהם היא המשך של השני. את הקודקודים של משולשים אלה צריך להיות מחובר כדי בסופו של דבר עם טרפז.

כידוע, שטח טרפז שווה לתוצר של חצי הסכום של הבסיסים שלו גובה.

S = a + b / 2 * (a + b)

אם ניקח בחשבון את טרפז כתוצאה כדמות המורכבת משלושה משולשים, ואז האזור שלה ניתן למצוא כדלקמן:

S = AV / 2 * 2 + s2/ 2

עכשיו אתה צריך לאזן את שתי ביטויים המקור

2av / 2 + s / 2 = (a + b)2/ 2

עם2= a2+ ב2

על משפט Pythagorean וכיצד להוכיח את זה, אתה יכול לכתוב יותר מכרך אחד של הספר. אבל האם זה הגיוני כאשר זה ידע לא ניתן ליישם?

יישום מעשי של משפט פיתגורס

למרבה הצער, בתכניות הלימודים המודרניותמשפט זה יכול לשמש רק בבעיות גיאומטריות. בוגרי בקרוב לעזוב את קירות בית הספר, לא יודע איך ליישם את הידע שלהם ואת הכישורים בפועל.

למעשה, השתמש משפט Pythagorean בכל אחד יכול לטפל בחיי היומיום שלו. ולא רק בפעילות מקצועית, אלא גם בעבודות הבית הרגילות. הבה נבחן כמה מקרים שבהם המשפט פיתגורס ושיטות ההוכחה שלה עשוי להיות נחוץ ביותר.

משפט תקשורת ואסטרונומיה

נראה כי כוכבים משולשים יכול להיות מחובר על הנייר. למעשה, אסטרונומיה היא תחום מדעי שבו משפט פיתגורס נמצא בשימוש נרחב.

לדוגמה, לשקול את התנועה של קרן אור בחלל. זה ידוע כי האור נע בשני הכיוונים באותה מהירות. מסלול AB, אשר מזיז את קרן האור נקרא l. ומחצית הזמן שהאור צריך להגיע מנקודה א 'לנקודה ב', אנחנו קוראים t. ואת המהירות של הקורה - c. מתברר כי: c * t = l

על משפט פיתגורס ועל שיטות ההוכחה שלו

אם אתה מסתכל על זה ריי מאוד של אחרמטוס, למשל, מתוך אניה שטח, אשר נע במהירות V, ולאחר מכן עם תצפית כזו של הגופים המהירות שלהם ישתנה. במקרה זה, אפילו אלמנטים נייחים יעברו עם מהירות v בכיוון ההפוך.

נניח שאניה קומית צף ימינה. ואז הנקודות A ו- B, שביניהן נזרקת הקרן, ינועו שמאלה. יתר על כן, כאשר קרן עובר מנקודה א 'לנקודה ב', נקודה A יש זמן לנוע, ולכן האור יגיע לנקודה חדשה C. כדי למצוא חצי המרחק כי נקודת זז, אתה צריך להכפיל את מהירות אניה על ידי חצי זמן הקורה קרן ").

d = t "v

וכדי למצוא את המרחק כי קרן אור יכול לעבור במהלך הזמן הזה, אתה צריך לייעד את חצי הדרך של אשור חדש ולקבל את הביטוי הבא:

s = c * t "

אם אתה מדמיין כי נקודות האור הן C ו- B, ומאז אניה שטח הוא הקודקוד של משולש משקפיים, קטע מנקודה A לאנייה יחלק אותו לשני משולשים ימין. לכן, בזכות משפט פיתגורס, אתה יכול למצוא את המרחק כי קרן אור יכול לעבור.

עם2 = l2 + ד2

דוגמה זו, כמובן, היא לא המוצלחת ביותר, שכן רק כמה יכול להיות בר מזל מספיק כדי לנסות את זה בפועל. לכן, אנו רואים וריאנטים ארציים יותר של היישום של משפט זה.

רדיוס אותות ניידים

החיים המודרניים כבר לא ניתן לדמיין ללא קיומו של טלפונים חכמים. אבל כמה יהיה מהם proc, אם הם לא יכלו להתחבר מנויים באמצעות תקשורת סלולרית?

איכות התקשורת הניידת תלויה ישירותגובה אנטנת המפעיל הסלולרי. כדי לחשב עד כמה הטלפון יכול לקבל אות ממגדל נייד, ניתן להחיל את משפט פיתגורס.

נניח שאתה צריך למצוא את הגובה המשוער של מגדל קבוע, כך שהוא יכול להפיץ אות בתוך רדיוס של 200 ק"מ.

AB (גובה המגדל) = x;

SU (רדיוס של שידור אותות) = 200 ק"מ;

מערכת ההפעלה (רדיוס של העולם) = 6380 ק"מ;

מכאן

OB = OA + ABOV = r + x

החלת משפט Pythagorean, אנו מגלים כי גובה המינימום של המגדל צריך להיות 2.3 ק"מ.

דרכים אחרות להוכיח את משפט פיתגורס

משפט פיתגורס בחיי היומיום

למרבה הפלא, משפט פיתגורס עשוי להתבררשימושי גם בענייני פנים, כגון קביעת גובה הארון, למשל. במבט ראשון, אין צורך להשתמש בחישובים מורכבים כאלה, כי אתה יכול פשוט לקחת מדידות בעזרת קלטת מדידה. אבל רבים לתהות מדוע יש בעיות מסוימות בתהליך ההרכבה אם כל המדידות נלקחו יותר מאשר במדויק.

העובדה היא כי הארון הולךאופקית ורק אז עולה ומתקין על הקיר. לכן, בתהליך של הרמת המבנה, את הקיר של הקבינט חייב לעבור בחופשיות הן את גובה החדר ואת האלכסון.

נניח שיש ארון עם עומק של 800 מ"מ. המרחק בין הרצפה לתקרה הוא 2600 מ"מ. יצרנית ריהוט מנוסה יגיד כי גובה הממשלה צריך להיות 126 מ"מ פחות מגובה החדר. אבל למה בדיוק 126 מ"מ? חשבו על דוגמה.

עם מידות הממשלה האידיאלי, אנו בודקים את ההשפעה של משפט פיתגורס:

AC = √ אב2Map less רא2

AC = √24742Map 18002= 2600 מ"מ - הכל מתאים.

נניח גובה ארון אינו שווה ל 2474 מ"מ, אבל 2505 מ"מ. ואז:

AC = √25052+ √8002= 2629 מ"מ.

כתוצאה מכך, ארון זה אינו מתאים להתקנה בחדר זה. מכיוון שכאשר מרימים אותו במצב אנכי, הגוף שלו עלול להיפגע.

משפט Pythagorean הוכחת הנוסחה

אולי, בהתחשב בדרכים שונות של הוכחהמשפט Pythagorean על ידי מדענים שונים, אנו יכולים להסיק כי זה יותר נכון. עכשיו אתה יכול להשתמש במידע המתקבל בחיי היומיום שלך להיות בטוח לחלוטין שכל החישובים יהיה לא רק שימושי, אבל גם נכון.

חדשות קשורות


תגובות (0)

הוסף תגובה